360. Орлов А.И. Ядерные оценки плотности в пространствах произвольной природы. – В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. - Пермь: Пермский госуниверситет, 1996. С.68-75.

УДК 519.2
А.И.Орлов
г.Москва
ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ 
В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРИРОДЫ
	В нашей стране с середины 70-х годов активно разрабатываются методы статистического анализа нечисловых данных  [1], поскольку развитие прикладных исследований привело к необходимости рассмотрения в качестве статистических данных различных объектов нечисловой природы - элементов пространств, не являющихся линейными (векторными). Примерами являются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и т.д.); множества; нечеткие множества; реэультаты измерений в шкалах, отличных от абсолютной; как обобщение перечисленных объектов - элементы пространств общей природы. Для нечисловых результатов наблюдений  рассматривают [1] классические задачи статистики: описание данных (включая  классификацию), оценивание (параметров, характеристик, плотности распределения, регрессионной зависимости и т.д.), проверку гипотез.
	Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы основан не на свойстве линейности пространства, а на применении симметрик и метрик в нем, поэтому существенно отличается от классического.
	В статистике нечисловых данных выделяют [1] общую теорию и статистику в конкретных пространствах нечисловой природы (например, статистику ранжировок). В общей теории есть два основных сюжета. Один связан со средними величинами и асимптотическим поведением решений экстремальных статистических задач, второй - с непараметрическими оценками плотности. Именно ему посвящена настоящая статья.
 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ
              Пусть   - измеримое пространство,    и    суть сигма-конечные меры на   , причем   абсолютно непрерывна относительно , т.е.  из равенства  =0  следует равенство  =0 , где . В этом случае на  существует  неотрицательная измеримая функция   f(x) такая, что

для любого  . Функция f(x) является производной  Радона-Никодима меры    по мере  , а в случае , когда  - вероятностная мера, - плотностью вероятности     по отношению  к мере  .
	Будем считать , что в пространстве объектов нечисловой природы фиксирована некоторая мера  , а мера    соответствует распределению Р случайного элемента  со значениями  в измеримом пространстве , т.е.
.
Если   пространство из конечного числа точек, то в качестве меры  естественно использовать считающую меру (т.е. приписывающую единичный вес каждой точке пространства)  , или же нормированную считающую меру
.
	В случае считающей меры значение плотности в точке  совпадает с вероятностью попасть в точку   , т.е..
	Не пытаясь рассмотреть все многообразие методов классификации в статистике объектов нечисловой природы (см., например, [2] ),  сосредоточимся на тех из них , которые используют плотности распределения и их оценки. Зная плотности распределения классов, можно решать основные задачи классификации - как задачи выделения кластеров, так и задачи диагностики. В задачах кластер-анализа можно находить моды плотности и принимать их за центры кластеров или за начальные точки итерационных методов типа динамических сгущений. В задачах диагностики (дискриминации, распознавания образов с учителем) можно принимать решения о классификации объектов на основе отношения плотностей, соответствующих классам. При неизвестных плотностях представляется естественным использовать их состоятельные оценки. 
	Методы оценивания плотности вероятности в пространствах общего вида предложен и первоначально изучены в [3] . В частности, в задачах классификации объектов нечисловой природы предлагаем использовать непараметрические ядерные оценки плотности типа Парзена-Розенблатта (этот вид оценок и его название введены  в  [3] ): 
  ,
где К :  - ядерная функция  - выборка, по которой оценивается плотность,  - расстояние между элементом выборки  и точкой , в которой оценивается плотность, последовательность  показателей размытости такова, что  0 и n, а  - нормирующий множитель, обеспечивающий выполнение условия
.
	Ядерные оценки (типа Парзена-Розенблатта) - частный случай линейных оценок [3]. В теоретическом плане они выделяются тем, что  удается получать результаты такого же типа, что в классическом одномерном случае  (), но, разумеется, с помощью совсем иного математического аппарата.
СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ЯДЕРНЫХ ОЦЕНОК
	Одна из основных идей  состоит в том , чтобы согласовать между собой расстояние  и меру . А именно, рассмотрим шары радиуса 

 и их меры 
.
 	Предположем, что  как функция  при фиксированном  непрерывна и строго возрастает. Введем функцию 
.
	Это - монотонное преобразование расстояния, а потому  - метрика или симметрика (т.е. неравенство треугольника может быть не выполнено), которую, как и , можно рассматривать как меру близости между   и .
	Введем .
	Поскольку  определена однозначно, то 
 ,
где , а потому 
.
	Переход от  к  напоминает классическое преобразование, использованное Н.В.Смирновым, , переводящее случайную величину  с непрерывной функцией распределения  в случайную величину   ,  равномерно  распределенную  на  [0,1]. Оба рассматриваемых преобразования существенно упрощают далнейшие рассмотрения.
	Преобразование  зависит от точки , что не влияет на дальнейшие рассуждения, поскольку здесь мы ограничиваемся изучением сходимости в точке.
	Функцию , для которой мера шара радиуса  равна , называют [3] естественным показателем различия или естественной метрикой. В случае пространства  и евклидовой метрики   имеем
,
где -объем шара единичного радиуса в .
	Поскольку можно записать, что
,
где
,
то переход от  к  соответствует переходу от  к . Выгода от такого перехода заключается в том, что утверждения приобретают более простую формулировку.
	ТЕОРЕМА 1. Пусть  - естественная метрика,
	.
Плотность  непрерывна в  и ограничена на  , причем . Тогда ,, оценка  является состоятельной, т.е.  по вероятности при ,

	Теорема 1 доказывается методами, развитыми в [3]. Однако остается открытым вопрос о скорости сходимости ядерных оценок,  в частности, о поведении величины

и об оптимальном выборе показателей размытости ..

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ 
ДЛЯ ЯДЕРНЫХ ОЦЕНОК ПЛОТНОСТИ
	Введем круговое распределение  и круговую плотность .
	ТЕОРЕМА 2. Пусть ядерная функция  непрерывна и при . Пусть круговая плотность допускает разложение

причем остаточный член равномерно ограничен на [0,h]. Пусть

Тогда
.
	Доказательство теоремы 2 проводится  с помощью  разработанной в статистике объектов нечисловой природы математической техники, образцы которой представлены, в частности, в [3]. Из-за своего объема доказательство здесь не приводится.
	Если коэффициенты при основных членах в правой части не равны 0, то величина  достигает минимума, равного
,
при
,
что совпадает с классическими результатами для весьма  частного случая прямой (см.[4,с.316]). Заметим, что для уменьшения смещения оценки приходится применять знакопеременные ядра .
ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ В  ДИСКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
	В случае дискретных пространств естественных метрик не существует. Однако можно получить аналоги теорем 1 и 2, переходя к пределу не только по объему выборки , но и по параметру дискретности m.
	Пусть - последовательность конечных пространств, - расстояния в 
  для любого .
	Положим 
 , 
 ,
 . 
Тогда функции  кусочно постоянны и имеют скачки в некоторых точках  , причем  .
	ТЕОРЕМА 3.Если  при  (другими словами,  при  ), то существует последовательность параметров дискретности  такая, что при  ,  ,  справедливы заключения теорем 1 и 2.
	Из-за своего объема доказательство теоремы 3 здесь не приводится.
	ПРИМЕР 1 Пространство  всех подмножеств конечного множества  из  элементов допускает [5] аксиоматическое введение метрики  , где  - символ симметрической разности множеств. Рассмотрим непараметрическую ядерную оценку плотности типа Парзена - Розенблатта  , 
где  - функция нормального стандартного распределения. Можно показать, что эта оценка удовлетворяет условиям теоремы 3 с .
	ПРИМЕР 2. Рассмотрим пространство функций , определенных на конечном множестве  со значениями в конечном множестве  . Это пространство можно интерпретировать как пространство нечетких множеств [5]. Очевидно,  .Будем использовать расстояние  . Непараметрическая оценка плотности имеет вид:  . 
Если  ,  , то при  выполнены условия теоремы 3, а потому справедливы теоремы 1 и 2.
	ПРИМЕР 3.Рассматривая пространства ранжировок m объектов, в качестве расстояния  между ранжировками  и   примем минимальное число инверсий, необходимых для перехода от  к  . Тогда . не стремится к 0 при , условия теоремы 3 не выполнены.
	ПРИМЕР 4. В прикладных работах наиболее распространенный пример объектов нечисловой природы - разнотипные данные: реальный объект описывается вектором, часть координат которого - значения количественных признаков, а часть - качественных (номинальных и порядковых). Для пространств разнотипных признаков, т.е. декартовых произведений непрерывных и дискретных пространств,  возможны различные постановки. Пусть, например, число градаций качественных признаков остается постоянным. Тогда непараметрическая оценка плотности  сводится к произведению частоты попадения в точку в пространстве качественных признаков на классическую оценку Парзена-Розенблатта в пространстве количественных переменных. В общем случае расстояние  можно , например, рассматривать как сумму евклидова расстояния  между количественными факторами , расстояния  между номинальными признаками (, если , и  , если  ) и расстояния  между порядковыми переменными (если  и  - номера градаций., то . Наличие количественных факторов приводит к непрерывности и строгому возрастанию ,  а потому для непараметрических оценок плотности в пространствах  разнотипных признаков верны теоремы 1 - 2.
	Описанные в настоящей статье подходы и результаты применялись при решении прикладных задач, в частности,  при разработке автоматизированного рабочего места "Математика в экспертизе"(АРМ "МАТЭК"), в медицине труда, а также использовались в учебном процессе (Межвузовский центр экономического образования Госкомвуза РФ и Московский государственный институт электроники и математики - технический университет).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
	1. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы // Заводская лаборатория, 1990, т.56, № 3, с.76-83.
	2. Орлов А.И. Заметки по теории классификации // Социология: методология, методы, математические модели, 1991, № 2, с.28-50.
	3. Орлов А.И. Непараметрические оценки плотности в топологических пространствах. - В сб. "Прикладная статистика". - М.: Наука, 1983. - С.12-40.
	4. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979. - 528 с.
	5. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.